요소망 Valence

요소망의 내부 절점이 속한 요소 개수를 “Valence” 라고 하는데, Valence에 따라 요소망의 종류를 구조적 요소망(Structured Mesh)과 비구조적 요소망(Unstructured Mesh)으로 구분합니다.

구조적 요소망

내부 절점의 Valence가 모두 동일한 요소망입니다.

GTS NX에서는 Mesh > Map Mesh 메뉴에서 다양한 방법으로 구조적 요소망을 생성할 수 있습니다.

비구조적 요소망

내부 절점의 Valence가 절점에 따라 다른 요소망입니다.

GTS NX에서는 Mesh > Auto Mesh 메뉴에서 다양한 방법으로 비구조적 요소망을 생성할 수 있습니다.

아래 그림의 2차원 사각형 요소망의 예를 이용하여 Valence(λ)의 의미와 이에 따른 구조적 요소망과 비구조적 요소망의 차이를 살펴봅니다.

그림의 구조적 사각형 요소망에서 Valence가 4인 내부 절점은 4개의 요소에 공유되고, 각 요소는 360°/4=90°의 모서리각을 갖게 되어 요소의 형상이 좋습니다. 그러나 비구조적 사각형 요소망에서는 내부 절점의 Valence( λ)에 따라 각 요소가 360°/λ 의 모서리각( λ=3 -> 120° , λ=5 -> 72°)을 갖게 됩니다. 그러므로 절점의 Valence가 4에서 멀어질수록 해당 절점을 갖는 사각형 요소들의 모서리각이 90°에서 멀어지므로 요소 형상이 나빠집니다. 2차원 사각형 요소망에서는 Valence가 4인 경우가 가장 좋으며(구조적 요소망), 가급적 Valence가 3~5 사이가 되도록 요소망을 구성하는 것이 좋습니다.

구조적 요소망은 형상이 좋은 대신 원칙적으로 몇 가지 제약 조건이 요구됩니다. 2차원의 구조적 요소망이 생성되는 과정을 보여주는 다음의 그림을 통하여 이러한 요구 조건들을 살펴봅니다.

<구조적 요소망의 생성 과정>

그림에서 알 수 있듯이 구조적 요소망은 2D의 정사각형 Base 기하에서 격자 분할로 기본 요소망을 생성한 다음에 이 요소망을 3D의 실제 기하로 Mapping하는 방법에 의해 생성됩니다.

이러한 생성 방법의 특징으로 인해 구조적 요소망은 다음의 두 가지 요구 조건이 만족되는 기하에만 생성될 수 있습니다.

• 정사각형의 Base 기하를 구성하기 위해서 4개의 기준 모서리점이 명확하게 정의될 수 있어야 합니다.

midas GTS에서는 볼록한 다각형의 경우에 프로그램이 자동으로 4개의 모서리점을 찾아주며, 필요한 경우에는 사용자가 수동으로 4개의 모서리점을 지정할 수도 있습니다. 4개의 모서리점이 정의될 수 없는 기하는 수동으로 적절하게 분할한 다음에 각 분할 영역에 대해 요소망을 생성하여야 합니다.

• 단순한 격자 분할로 기준 요소망을 생성하므로 2D Base 기하 상에서 마주보는 짝 Edge 또는 짝 Edge 그룹(①-③, ②-④) 사이의 요소 분할 개수가 일치하여야 합니다.

구조적 요소망을 생성하기 위해 수동으로 Mesh Size를 지정할 경우에 요소 크기 대신 분할 개수로 지정하는 것이 좋습니다.

구조적 요소망과는 달리 비구조적 요소망의 생성은 대상 기하의 형상, 구성 및 분할 개수 등에 어떠한 제약 조건도 요구하지 않으므로 복잡한 임의 형상의 기하에 대해서도 쉽고 편리하게 요소망을 생성할 수 있습니다.

GTS NX는 세 가지의 비구조적 요소망 생성 방법을 제공합니다.

Loop Mesher

Looping 알고리즘을 이용하여 대상 영역에 직접 사각형 요소망을 생성하는 요소망 생성 방법입니다.

Loop Mesher는 대상 영역의 경계를 정확하게 표현할 수 있고, 대상 영역의 회전에 무관하게 항상 동일한 형상의 요소망을 생성하며, 특히 1:2가 넘는 요소 크기에 대해서도 매끄럽게 전이되는 사각형 요소망을 생성한다는 장점이 있습니다. 하지만, 알고리즘의 특성상 대상 모델의 형상에 따라 생성되는 요소망의 직교성(Orthogonality) 과 규칙성(Regularity)이 다소 떨어질 수 있으며, 영역 내부에 임의의 점과 선이 포함될 경우에 해당 내부 점/선 주위의 요소 형상이 다른 영역에 비해 상대적으로 좋지 않을 수도 있습니다. 예를 들어, 완전히 사각형만으로 구성된 요소망(Full Quad Mesh)을 만들기 위해서는 모든 경계가 짝수개로 분할되어야하지만 그렇지 못한 경우에는 일부 삼각형요소가 포함됩니다. Looping 알고리즘은 단순연결(Simply-connected) 영역에만 적용할 수 있습니다.

<Loop Mesher의 요소망 생성 방법>

Grid Mesher

Grid Mesher는 기준 격자를 이용하여 대상 영역의 내부에 사각형 요소를 생성하고, 영역 내부의 사각형 요소망과 영역의 경계 사이에 절점 연결법으로 사각형 또는 삼각형 요소를 생성합니다.

Grid Mesher는 직교성/규칙성이 가장 뛰어난 요소망을 생성할 수 있다는 장점이 있습니다. 하지만, 기준 격자를 이용하는 알고리즘의 특성상 1:2가 넘는 요소 크기에 대해서는 요소망 전이처리가 매끄럽지 않다는 단점이 있습니다. 그리고, 기본적으로 요소망 생성 과정에서 영역 내부의 점과 선이 함께 고려되므로 해당 내부 점/선 주위에 형상이 좋은 요소가 생성됩니다.

Grid Mesher는 사각형과 삼각형이 함께 생성되는 혼합 요소망과 삼각형 요소망을 생성할 수 있으며, 적용되는 요소 크기가 동일한 경우에 가장 형상이 좋은 요소망을 생성합니다.

<Grid Mesher가 기준 격자를 이용하여 요소망을 생성하는 방법>

Delaunay Mesher

대표적인 요소망 생성 방법인 Delaunay 알고리즘을 이용한 요소망 생성 방법입니다. 삼각형 요소망 생성에 우수한 성능을 보이며, 특히 내부의 점과 선이 존재하는 경우에도 이를 기준으로 자유롭게 요소 크기를 지정할 수 있습니다.

올바른 요소 종류의 선택과 요소의 형상은 해석 결과에 큰 영향을 줍니다. 그러므로 올바른 해석 결과를 얻기 위해서는 해석 대상의 구조적 특성과 원하는 해석 결과를 토대로 적합한 요소의 종류를 선택하여야 하고, 요소망을 생성한 후에는 요소의 연결 관계와 요소의 형상을 확인하여야 합니다.

다음은 요소의 선택과 요소망 생성시 참고할 수 있는 기본적인 사항들입니다.

• 요소 크기가 작고 요소 형상이 정다각형과 정다면체에 가까울수록 좋은 해석 결과를 얻을 수 있습니다. (Compact and Regular)

• 요소 개수와 해석 시간은 반비례하므로 효율적인 해석을 수행하기 위해서는 사전에 적절한 요소망 밀도 분포를 계획한 다음 요소망을 생성하는 것이 바람직합니다. (a) 중요 해석 부위, (b) 기하형상의 변화가 심한 곳, (c) 재질 또는 특성이 변하는 곳, (d) 하중이 변하는 곳, (e) 결과의 변화가 심할 것으로 예상되는 곳에는 조밀한(Fine) 요소망을 생성하는 것이 좋습니다. 반대로 중요하지 않은 부위와 결과의 변화가 거의 없을 것으로 예상되는 곳에는 요소망을 성기게(Coarse) 생성하여 전체 요소 개수를 조절하도록 합니다.

• 삼각형 요소(2D)와 사면체 요소(3D)는 사각형 요소(2D)와 육면체 요소(3D)에 비하여 상대적으로 강(Stiff)하게 거동합니다. 그러므로 삼각형, 사면체 요소보다는 사각형, 육면체 요소를 사용하는 것이 좋습니다. 비슷하게 1차 요소도 2차 요소에 비해 상대적으로 강하게 거동하므로 1차 요소보다는 2차 요소를 사용하는 것이 좋습니다. 특히, 삼각형 및 사면체 요소는 가급적 2차 요소를 사용하도록 합니다.

• 요소망을 생성한 다음에는 반드시 요소의 연결 관계(Connectivity)를 확인하도록 합니다. 2D Mesh에서는 Free Edge, 3D Mesh에서는 Free Face의 존재 여부를 확인합니다.

• 프로그램이 제공하는 다양한 요소 형상 체크 기능을 이용하여 요소 형상의 적합성을 확인합니다. 특히, 기하형상의 변화에 비해 요소망을 지나치게 성기게 만든 부위에서는 형상이 좋지 않은 요소가 생성될 가능성이 상대적으로 높으므로 주의가 필요합니다. 최소한 2D Mesh에서는 볼록하지 않은 사각형 요소(Non-convex Quadrilateral: Jacobian Ratio ≤ 0)의 발생 여부 3D Mesh에서는 평면에 가까운 사면체 요소(Collapsed Tetra)의 발생 여부를 확인하도록 합니다.