17.3.2  板元法分析

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功能说明

1. 弹性地基法（弹性桩法）
筏板（桩筏）基础由模拟地基的面弹簧（桩的节点弹簧）和模拟筏板的板单元组成。基础大师中根据基础（桩）的沉降自动计算地基（桩）弹簧刚度，计算简图参见图17.3.2-1。

    板单元计算公式也可以使用虚功原理获得内部应变能：

    式中：

       δu—— 内部虚应变能
      δε—— 虚应变
        σ—— 应力
        v—— 体积
         s—— 板单元表面面积
       δv—— 虚位移
       kv—— 竖向基床反力系数

 

          

图17.3.2-1  弹性桩支承的筏板                                                                                                     

 

内部虚应变能和外部虚功相等，所以可得如下公式：




 

        式中：

            f —— 位移形函数；
        ky——  表面土弹簧的刚度矩阵。

 

图17.3.2-2  弹性桩支承的筏板

 

      2. 板单元

         板单元由在同一平面节点的三角形单元和四边形单元构成，板单元可以考虑面内受拉、受压、受剪以及面外厚度方向的受弯和受剪

        一般来说计算板单元的面外刚度的方法有两种，一种是基于薄板理论开发的，一种是基于厚板理论开发的。基础大师中板单元的面外刚度是基于厚板理论（Mindlin-Reissner Plate Theory）开发的，但是对剪切应变场做了适当的假设，同样可以适用于薄板。

        板单元具有三个沿单元坐标系方向的平动位移和绕x、y轴的旋转位移，程序中假定平板的面内变形刚度和面外变形刚度相互独立。

         平面单元中按变形成分计算刚度的方法如下

  •  面内变形：

    三角形单元：采用等参单元(与平面应力单元相同)
四边形单元：采用等参单元(与平面应力单元相同)
 
  • 面外变形：
    三角形单元：DKMT1  (Discrete Kirchhoff Mindlin Triangle)
    四边形单元：DKMQ2 (Discrete Kirchhoff Mindlin Quadrilateral)
按等参单元计算三角形和四边形单元的面内刚度的方法将在后面第3小节中介绍，下面介绍计算面外变形刚度的方法。
    程序中的DKMT(三角形)单元和DKMQ(四边形)单元可以考虑剪切变形，并且使用了假设剪切应变法。 节点自由度考虑沿单元坐标系  z 方向的平动位移 w 和绕 x、y        
    轴的旋转位移θx、θy 。

                                   (17.3.2-1)

               

     平动位移wi和旋转位移  θx、θy可按下面式计算：

 

(17.3.2-2)

 

     其中，形函数Ni、Pi计算如下：

                 三角形单元：

                                                                                                             (17.3.2-3)

                                                                       (17.3.2-4)

 

       四边形单元：

 

                                                                                      (17.3.2-5)

 

        为了计算单元边中央的虚拟旋转角使用了下面假定：

        沿N个边的剪力和弯矩满足下面平衡方程式。

 

                                                                                                                                                     (17.3.2-6)

 

         绕垂直于边的轴的旋转位移沿边长的变化为二次方程，绕切线方向轴的旋转位移的变化为一次方程。

 

                                                                                                                          (17.3.2-7)

 

         由式(17.3.2-14)获得的剪切应变与由形函数直接计算而得的剪切应变满足下列条件。

 

                                                                                                                                                                 (17.3.2-8)

 

           将按上述假定计算的 代入式(17.3.2-2)可将旋转位移用表达如下：

 

                                                                                                                                         (17.3.2-9)

 

            其中，Hxi、Hyi 分别为：

 

                                                                                (17.3.2-10)

                                                                                     (17.3.2-11)

(对于各向同性材料)

 

           节点位移和曲率 k 的关系可用Bbi 表达如下：

 

                                                                                                                                                                                           (17.3.2-12)

                                                                                                                                                                  (17.3.2-13)

 

         剪切应变 γ 的计算使用按式(17.3.2-8)计算的 ，与节点位移的关系式中使用的矩阵如下：

 

                                                                                                                                                                                                 (17.3.2-14)

 

          三角形单元：

 

(17.3.2-15)

 

          四边形单元：

 

                                              (17.3.2-16)

 

                                                (17.3.2-17)

 

          所以与弯曲和剪切变形相关的单元刚度如下：

 

                                                                                                                     (17.3.2-18)

 

 

           四节点单元中有时节点不在同一平面内，节点不在同一平面时按上面公式计算将不能准确计算变形。程序中使用了MacNeal3   推荐的刚度修正法解决节点不在同一平面的问题。如图17.3.2-3所示，将在A-B-C-D平面计算的刚度矩阵Kp 用转换矩阵 转换为实际节点位置1-2-3-4的刚度矩阵K，如下：

 

                                                                                                                                                                                                (17.3.2-19)

图 17.3.2-3  四节点板单元不在相同平面的情况

 

           转换矩阵S也是将平面上的点( A-B-C-D )上的力Fp转换为节点(1-2-3-4)位置力F的转换矩阵。

 

                                                                                                                                                                    (17.3.2-20)

                                                                                                                           (17.3.2-21)

                                                                                                         (17.3.2-22)

 

            在计算力的转换矩阵时需要考虑的力有沿着节点( 1-2-3-4 )的边与平面( A-B-C-D )的角度引起的面外方向的力和弯矩。

 

                                                                                                                    (17.3.2-23)

                                                                                                          (17.3.2-23)

                       面外方向的弯矩△Msi 不直接使用于转换矩阵S中，而是转换为等效力参与分析。

 

 （3）板单元的面内刚度计算方法 – 等参单元(与平面应力单元方法相同)
     平面应力单元假定在单元平面内厚度相同。平面应力单元由等参单元构成，四节点四边形单元使用了非协调元，另外平面应力单元只有沿单元坐标系x、y方向的平动位移u、v 。

                                                                                                                                                                    (17.3.2-25)

 

            如果不考虑四节点四边形的非协调性，可以采用相似的过程计算具有N个节点的单元的刚度。

            单元内任意点坐标x、y和平动位移u、v可表达如下。

 

                                                         (17.3.2-26)

 

             三节点三角形：

 

                                                                                                              (17.3.2-27)

 

             四节点四边形：

 

                                                                       (17.3.2-28)

 

             节点位移u和应变ε的关系可用Bi表达如下：

 

                                                                                                                                                                     (17.3.2-29)

 

              矩阵Bi可用形函数的微分表达如下，

 

                                                                                                                                                   (17.3.2-30)

 

              使用Bi表达与面内变形相关的单元刚度矩阵如下：

 

                                                                                                                                                (17.3.2-31)

                     式中：

                    t ——厚度；
                   A —— 面积。
              各向同性材料的应力应变关系矩阵D为：

 

                                                                                                                                           (17.3.2-32)

 

               线性分析时四节点四边形单元自动考虑非协调性，考虑非协调性时将追加产生下列自由度。

 

 

              坐标x、y和平动位移u、v如下：

 

(17.3.2-34)

 

               反映非协调性的形函数如下，

 

                                                                                                                                                              (17.3.2-35)

 

               同时考虑非协调性和节点位移时的应变ε 如下，

 

                                                                                                                                                                          (17.3.2-36)

 

               矩阵Bi见式(16.3.2-13)，与非协调性相关的Ba如下：

 

                                                                                                                                         (17.3.2-37)

 

               利用矩阵Bi和Ba计算与面内变形相关的单元刚度矩阵可的下面四个矩阵：

 

                                                                                                     (17.3.2-38)

 

               式(17.3.2-38)的四个刚度矩阵关系如下，

 

                                                                                                                                (17.3.2-39)

 

                非协调刚度使用静力凝聚(static condensation)方法凝聚如下，

 

                                                                                                                                     (17.3.2-40)

 

               与非协调性相关的矩阵Ba中对形函数的微分时将使用对自然坐标系原点(ξ=η=0)的雅可比转换。因为非协调性可以模拟如下图17.3.2-4所示的弯曲变形，所以可以提高单元性能

 

图17.3.2-2  非协调模式的弯曲形状

 

4. 倒楼盖法
倒楼盖法板单元刚度矩阵及计算公式均同地上结构的梁单元，这里不再详述。