(4.4.1-1)

式中：

       K结构的刚度矩阵；

      M结构的质量矩阵。

将位移u使用形函数和时间向量Y(t)的乘积u=Y(t)表现，则可得下面公式：

                            (4.4.1-2)

将时间函数Y(t)用下列向量表示：

                                                                                                                                              (4.4.1-3)

式中：

        n 总自由度数；

 ym(t)cos(wmt+βm)。

将式(4.4.1-3)代入(4.4.1-2)可得：

                                                        (4.4.1-4)

矩阵Λ和Ф如下：

                (4.4.1-5)

                                         (4.4.1-6)

对各ym(t)需要满足式(4.4.1-4)，则可得：

                    (4.4.1-7)

式(4.4.1-7)即为解特征值的方程，为了获得有意义的解需要满足下式：

                                   (4.4.1-8)

质量矩阵M和刚度矩阵K是对称矩阵，特征值λm和特征向量为实数。当没有外部荷载作用时，结构按特征向量的形状振动，其振动的速度用圆频率ωm  (radian/time)或固有频率fm(cycle/time)和固有周期tm(time/cycle)表示。ω、fm、Tm的相互关系如下：

                         (4.4.1-9)

特征值λm为第m振型的应变能和动能的比值，从小到到大依次称为第一振型、第二振型、...、第n振型。下图4.4.1显示的是悬臂梁的振型形状示意图。

图4.4.1  悬臂梁的振型形状示意图

结构大师还提供反映结构振动特性的振型周期、振型参与系数、振型方向系数和特征向量等参数。

振型参与系数按下面公式计算，被应用于反应谱分析和时程分析中。

                           (4.4.1-10)

式中：

     ГmX、ГmY、ГmZ 弹性刚度矩阵；

ГmRX、ГmRY、ГmRZ 每次通过迭代计算得到的几何刚度矩阵；

      Ix、Iy、Iz 静力荷载向量；

                           位移向量。

振型参与质量等于该振型质量（或称为模态质量）乘以该振型的振型参与系数的平方，由式4.4.1-10可得振型参与质量计算公式如下。因为振型有正负号，所以振型参与质量有可能为零。所有振型的参与质量之和为结构的总有效质量，当结构的节点质量没有被约束时，总有效质量和结构的总质量相同。

              (4.4.1-11)

式中：

     Mmx、Mmy、Mmz 第m振型在x、y、z平动方向的振型参与质量；

MmRx、MmRy、MmRz 第m振型在x、y、z轴旋转方向的振型参与质量。

振型参与质量系数为各振型的参与质量与总有效质量的比值，《抗规》GB50011-2001规定在反应谱分析中，考虑的振型数量的质量参与系数之和要达到90%以上。这是为了保证地震作用的计算精度。

结构大师中提供了两种求解特征值方程的方法，即兰佐斯法 和子空间迭代法。兰佐斯法的计算速度较快，适合于解大型工程的特征值问题；子空间迭代法计算比较稳定，适合求解各种工程的特征值问题。