（1）位移-应变的转换矩阵

竖向和水平向的应变由轴心受拉或受压应变与弯曲应变组成，单元内的任意位置的应变如下式所示：

                                                                                                       (5.3.2-1)

                                                                                                        (5.3.2-2)

                                                                                                                   (5.3.2-3)

                                                                                                                    (5.3.2-4)

           式中：

    εy、εx —— 单元内任意点的竖向和水平向应变；

εy0、εx0 —— 中和轴位置的竖向/水平向应变；

   κy、κx —— 竖向/水平向的曲率。                                                                                         

使用最小二乘法计算单元内任意位置的位移-应变关系矩阵如下：                                                                       

                                                                                             (5.3.2-5)

式中：                                                                           

      P —— 单元内任意位置的坐标矩阵；

      B —— 积分点位置的位移-应变关系矩阵；

      J —— 积分点位置的雅可比矩阵；

       B—— 单元内任意位置的位移-应变关系矩阵。

对于剪切成分使用高斯积分点位置的变形-应变关系矩阵，如图5.3.2所示分别为竖向、水平向、剪切方向的应变。图中 为使用最小二乘法计算的竖向和水平向位移-应变关系矩阵，Bxy是剪切变形-剪切应变的关系矩阵，{uc}是单元的位移向量。

(a) 竖向应变                                                       (b) 水平应变                                               (c) 剪切应变

图5.3.2  各应变成分

（2）单元刚度矩阵

因为前面已经假设单元的竖向、水平、剪切方向的变形成分互相独立，因此各方向的刚度也是相互独立的。

① 竖向刚度

                                                                                                      (5.3.2-6)

式中：

          m —— 竖向纤维数量；

     —— 竖向第j个纤维的位移-应变关系矩阵；

         Ey —— Ey=Ecy+ρyEsy；

       Ecy —— 竖向混凝土的弹性模量；

       Esy —— 竖向钢筋的弹性模量；

         ρy —— 竖向钢筋配筋率；

          Aj —— 竖向第j个纤维的面积；

            t —— 单元厚度。

② 水平方向刚度

                                                                                                    (5.3.2-7)

式中：

            n —— 水平方向的纤维数量；

      —— 水平方向第i个纤维的位移-应变关系矩阵；

         Ex —— Ex=Ecx+ρxEsx；

        Ecx——水平方向混凝土弹性模量；

       Esx —— 水平方向钢筋的弹性模量；

          ρx—— 水平方向钢筋配筋率；

         Ai —— 水平方向第i个纤维的面积；

           t —— 单元厚度。

③ 剪切刚度

                                                                                           (5.3.2-8)

式中：

           G —— 剪切模量。