2.6.2 有限元公式
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板单元具有单元平面内的三个平动自由度和绕x、y、z轴的三个旋转自由度。
平面板单元的各应变的刚度类型如下：
（1） 面内变形
三节点单元：使用等参单元（与平面应力单元相同），考虑绕z轴的旋转自由度；
四节点单元：使用等参单元（与平面应力单元相同），考虑绕z轴的旋转自由度。
（2） 面外变形：
三节点单元：DKMT (Discrete Kirchhoff Mindlin Triangle)
四节点单元：DKMQ (Discrete Kirchhoff Mindlin Quadrilateral)
板的面内刚度需要考虑沿x、y方向的平动位移u、v和绕z轴的旋转位移θz的影响。
(2.6.2-1)
有N个节点的单元内任意坐标x、y和平动位移u、v使用形函数表示如下：
(2.6.2-2)
(2.6.2-3)
其中，θzi是节点上的旋转位移，三节点和四节点板单元的形函数如下：
三节点单元
(2.6.2-4)
(2.6.2-5)
四节点单元
(2.6.2-6)
(2.6.2-7)
节点位移u和面内应变ε的关系使用转换矩阵Bi表达如下：
(2.6.2-8)
转换矩阵Bi用新函数的微分表示如下：
(2.6.2-9)
面内变形单元刚度矩阵如下：
(2.6.2-10)
式中：
t 厚度；
Ae 面积。
各向同性材料的应力和应变关系矩阵D如下：
(2.6.2-11)
使用具有绕z轴旋转自由度的单元时，在单元的边上会产生附加的平动位移，附加平动位移形状采用二次内插函数，附加变形在节点上不产生剪切变形(见图2.6.2-1)：
图2.6.2-1 弯曲变形和旋转自由度的关系
计算面外刚度使用的DKMT(三节点)和DKMQ(四节点)单元考虑剪切变形的影响，剪切变形采用假想法。节点上的自由度有沿单元坐标系z方向的平动位移ω和绕x、y轴的旋转位移θx、θy：
(2.6.2-12)
平动位移ωi和旋转位移θx、θy用形函数表示如下：
(2.6.2-13)
其中，形函数Ni 、Np见上面公式(2.6.2-4)~(2.6.2-7)。为了计算单元边上的假想旋转角Δθni使用下列假定：
在N个边上剪力和弯矩满足下列平衡条件：
(2.6.2-14)
绕垂直于单元边的轴的旋转位移沿边长方向为二次函数，绕切线方向轴的旋转位移为一次函数：
(2.6.2-15)
利用式(2.6.2-14)计算的剪切应变γsx和用形函数计算的剪切应变γsx满足下面方程：
(2.6.2-16)
将通过上述假定计算的Δθni代入式(2.6.2-13)可得用ui表达的旋转位移θx、θy：
(2.6.2-17)
其中，Hxi、Hyi分别为：
(2.6.2-18)
(2.6.2-19)
(各向同性材料)
节点位移和曲率K的关系如下：
(2.6.2-20)
(2.6.2-21)
剪切变形γ可使用由(2.6.2-16)计算的,
(2.6.2-22)
其中，剪切变形和节点位移的关系矩阵Bsi如下：
三节点单元：
(2.6.2-23)
四节点单元：
(2.6.2-24)
(2.6.2-25)
由此可得与面外弯曲和剪切变形相关的刚度矩阵如下：
(2.6.2-26)
四节点平面板单元的四个节点不在同一个平面时，节点位移会不准确。为了解决这个问题程序使用了MacNeal 推荐的刚度修正法。如图2.6.2-2所示，将在A-B-C-D平面上计算的刚度矩阵Kp转换为实际节点位置N1-N2-N3-N4上的刚度K时使用了转换矩阵S：
(2.6.2-27)
图2.6.2-2 四节点板单元的节点不在同一平面时
通过转换矩阵S将点(A-B-C-D)上的荷载Fp转换为点(1-2-3-4)上的荷载F：
(2.6.2-28)
(2.6.2-29)
(2.6.2-30)
转换时由于两个平面的夹角引起的面外荷载和弯矩如下：
(2.6.2-31)
(2.6.2-32)
(2.6.2-1)
(2.6.2-2)
(2.6.2-3)
(2.6.2-4)
(2.6.2-5)
(2.6.2-6)
(2.6.2-7)
(2.6.2-8)
(2.6.2-9)
(2.6.2-10)
厚度；
面积。
(2.6.2-11)
(2.6.2-12)
(2.6.2-13)
(2.6.2-14)
(2.6.2-15)
(2.6.2-17)
(2.6.2-18)
(2.6.2-19)
(各向同性材料)
(2.6.2-20)
(2.6.2-21)
, 
(2.6.2-22)
(2.6.2-23)
(2.6.2-24)
(2.6.2-25)
(2.6.2-26)
(2.6.2-27)
(2.6.2-28)
(2.6.2-29)
(2.6.2-30)
(2.6.2-31)
(2.6.2-32)