Hyperbolic 모델의 주요 비선형 파라미터는 아래와 같습니다.

                                                                    Hyperbolic (Duncan-Chang E-v)                                                                    Hyperbolic (Duncan-Chang E-B)         

마찰각 증가는 거친 입자의 토양으로부터 구속 압력이 증가하는 동안 마찰각이 감소하는 것을 설명할 수 있습니다. 마찰각 증분은 다음 식으로 정의됩니다.

마찰 각도 증분 값은 0보다 커야 합니다.

실험 변수 값 (G, F 및 D)은 쌍곡선 (Duncan-Chang E-v)에서 프아송 비 매개변수를 계산하기 위해 추가됩니다. G는 초기 프아송 비로부터 축까지의 거리, F는 초기 프아송 비로부터 압축에 대한 변화율, D는 초기 프아송 비로부터 응력에 대한 변화율이다.

삼축 압축 시험 결과로부터 아래 그림과 같이 세로 축이 또는 가 되도록 하고 가로 축을 이 되도록 그래프를 그릴 수 있습니다. 각 축을 log 스케일로 맞춘 후, =1 인 점에서의 세로 축 값이 초기 재하 계수 (K)가 됩니다. 세로 축이 일 때 그래프 기울기로부터 초기 강성 지수 (n)을 구할 수 있으며, 일 때 그래프 기울기로부터 부피 계수 지수(m)을 구할 수 있습니다. 여기서 부피 계수 Bm 은 아래 식과 같이 정의되며, 프아송 비와의 관계로부터 예측할 수 도 있습니다. 여기서 프아송 비는 0 에서 0.5 이하의 값으로 제한합니다.

  :  주응력의 변화량,

  :  부피 변형률의 변화량

<재료 물성 결정>

Duncan and Chang의 비선형 응력-변형률 곡선은 응력 상태와 응력 경로에 따라 세 가지 지반 계수 (초기 계수 , 접선 계수 , 제하-재재하 (unloading-reloading)계수 )로 정의됩니다.

<비선형 응력-변형률 거동>

여기서, 초기 계수 와 접선 계수 의 관계에서 파괴비 (Rf)를 구할 수 있습니다. 파괴비는 쌍곡선에 대한 점근선과 최대 전단 강도 비로 일반적으로 0.75~1 사이 값을 갖습니다. 접선 계수 는 값이 너무 작을 경우 수렴 문제를 야기할 수 있기 때문에 최소 접선 계수의 기본값은 대기압 (Pa) 입니다.  

부피 계수 번호 (Kb)는 부피 계수 (Bm)과 부피 계수 지수 (m)으로부터 계산됩니다.

여기서,

:   부피 계수 (bulk modulus),

:  부피 계수 번호

:   부피 계수 지수

제하-재재하 계수 번호은 제하-재재하 계수로 부터 계산됩니다.

초기 계수를 구할 때 적용되는 구속 응력은 '0 (zero)' 이거나 음수 (인장 상태)가 될 경우 초기 계수가 '0 (zero)' 이나 음수가 될 수 있으므로 구속 응력에 대한 하한치 설정이 필요하며, 설정된 최소 구속 압력 은 0.01Pa 입니다.

사질토의 밀도에 따른 파라미터 제안값은 아래와 같습니다. (Duncan, J. M. and Chan, C. Y. (1970))

                                  ,: 건조 상태에서 마찰각과 점착력

<표. Summary of stress-strain parameters for uniform fine silica sand>