재료일반(거동특성) Home > GTS NX > 요소망 > 특성,좌표계,함수 > 재료 > 재료물성(상세) > Hyperbolic(Duncan-Chang)

Hyperbolic(Duncan-Chang)

지반의 응력-변형률 거동은 파괴조건에 근접할수록 비선형으로 되는데, 비선형탄성 모델은 지반계수를 변화함으로써 이러한 지반 거동을 묘사하는 모델입니다. 지반계수를 계산하기 위해 Duncan and Chang (1970)에 의해 제시된 수식을 사용하며, 이 식에서 응력-변형률 곡선은 쌍곡선이고 지반계수는 구속응력(confining stress)과 전단응력의 함수입니다. 이 비선형탄성 재료 모델은 삼축압축시험이나 문헌으로부터 쉽게 얻어질 수 있는 물성치만 필요로 하기 때문에 매우 유용하게 사용할 수 있습니다.
Duncan and Chang의 비선형 응력-변형률 곡선은 전단응력 ( \(\sigma_1-\sigma_3\) )에 대한 주변형률 공간 사이에서 쌍곡선 형태를 나타내며, 응력상태와 응력경로에 따라 세 가지 지반계수(초기계수 ( \(E_i\) ), 접선계수 ( \(E_t\) ), 제하-재재하(unloading-reloading) 계수 ( \(E_{ur}\) )) 로 정의됩니다.

Hyperbolic 모델의 주요 비선형 파라미터는 아래와 같습니다.

Hyperbolic(Duncan-Chang E-B) Hyperbolic(Duncan-Chang E-v)
삼축압축시험 결과로부터 아래 그림과 같이 세로축이 \(E/p_a\) 또는 \(B_m/p_a\) 가 되도록 하고 가로축을 \(\sigma_3/p_a\) 이 되도록 그래프를 그릴 수 있습니다. 각 축을 log 스케일 한 후, \(\sigma_3/p_a = 1\) 인 점에서의 세로축 값이 초기재하계수 \(K\) 가 됩니다.
세로축이 \(E/p_a\) 일 때 그래프 기울기로부터 초기강성지수 \(n\) 을 구할 수 있으며, \(B_m/p_a\) 일 때 기울기로부터 부피계수지수 \(m\) 을 구할 수 있습니다. 여기서 부피계수 \(B_m\) 은 아래식과 같이 정의되며, 포아송비와의 관계로부터 예측할 수도 있습니다. 여기서 \(\nu\) 는 0에서 0.5 이하의 값으로 제한합니다.
\[ \begin{aligned} B_m &= \frac{\Delta\sigma_1 + \Delta\sigma_2 + \Delta\sigma_3}{3\Delta\epsilon_v} \\[1em] B_m &= \frac{E}{3(1-2\nu)} \end{aligned} \]
- \(\Delta\sigma\) : 주응력의 변화량 (\(\Delta\sigma_1, \Delta\sigma_2, \Delta\sigma_3\))
- \(\Delta\epsilon_v\) : 부피 변형률의 변화량
- \(B_m\) : 체적 탄성 계수 (Bulk Modulus)
- \(E, \nu\) : 탄성계수 및 포아송비
재료물성 결정

Duncan and Chang의 비선형 응력-변형률 곡선은 응력상태와 응력경로에 따라 세 가지 지반계수 초기계수 \(E_i\) , 접선계수 \(E_t\) , 제하-재재하 unloading-reloading 계수 \(E_{ur}\) 로 정의됩니다.

비선형 응력-변형률 거동
여기서, 초기계수 \(E_i\) 와 접선계수 \(E_t\) 의 관계에서 파괴비 \(R_f\) 를 구할 수 있습니다. 파괴비는 쌍곡선에 대한 점근선과 최대 전단 강도 비로 일반적으로 0.75~1 사이 값을 갖습니다. 접선계수 \(E_t\) 는 값이 너무 작을 경우 수렴문제를 야기할 수 있기 때문에 최소 접선계수의 기본값은 대기압 \(P_a\) 입니다.

부피계수번호(K_b)는 부피계수(B_m)과 부피계수지수(m)으로부터 계산됩니다.

\[ B_m = K_b\, p_a \left(\frac{\sigma_3}{p_a}\right)^{m} \]

제하-재제하 계수번호 K_w는 제하-제재하 계수 E_w로 부터 계산됩니다.

\[ E_w = K_w p_a \left(\frac{\sigma_3}{p_a}\right)^{m} \]
초기계수를 구할때 적용되는 구속응력은 '0(zero)' 이거나 음수(인장상태)가 될 경우 초기계수가 '0(zero)' 이나 음수가 될 수 있으므로 구속응력에 대한 하한치 설정이 필요하며, 설정된 최소 구속압력 은 \(0.01\,\mathrm{Pa}\) 입니다.

조립토와 같은 경우, 구속압 \(\sigma_3\) 이 커지면 내부마찰각 \(\phi\) 값이 작아지기 때문에 이를 모사하기 위한 마찰각 증가 \(\Delta\phi\) 값을 입력받습니다.
마찰력 증가 체크 시 마찰각 \(\phi\) 은 다음과 같이 계산됩니다.

\[ \phi = \phi_0 - \Delta\phi \cdot \log\!\left(\frac{\sigma_3}{p_a}\right) \]

비선형탄성모델의 프와송비는 응력상태에 관계없는 상수로 규정되거나 구속응력에 따른 토질부피계수로부터 계산될 수 있습니다. 프와송비에 대한 부피계수와의 관계는 아래 수식과 같이 탄성이론에 따라 정의될 수 있습니다.

\[ B_m = \frac{E}{3(1 - 2\nu)} \]
위 식에서 포아송비가 0이면 \(B_m = E/3\) 이고, 포아송비가 0.48 이면 \(B_m = 17E\) 입니다. 계산된 포아송비의 값은 \(0 \sim 0.49\) 까지로 제한됩니다.
또한, Duncan-Chang 모델에서는 포아송비를 부피계수가 아닌 실험상수로 정의할 수 있습니다.
\[ \begin{aligned} \nu_t &= \frac{ G - F1g\!\left(\frac{\sigma_3}{p_a}\right) }{ \left\{ 1 - \dfrac{ D(\sigma_1-\sigma_3) }{ K\,p_a\left(\frac{\sigma_3}{p_a}\right)^m \left[1 - \left(\frac{R_f}{(\sigma_1-\sigma_3)_f}\right)(\sigma_1-\sigma_3)\right] } \right\}^2 } \end{aligned} \]
- \(G\) : 초기 포아송비 상수 (\(0 < G < 0.5\))
- \(F\) : 포아송비 감소 계수 (\(F < G\))
- \(D\) : 응력 변화율 계수 (\(D > 0\))
- \(p_a\) : 대기압

최종 수정일: 2026-03-19

Relative density	\(\phi_d\)	\(R_f\)	\(K\)	\(K_w\)	\(n\)
100% (dense)	36.5	0.91	2000	2120	0.54
38% (loose)	30.4	0.90	295	1090	0.65