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단면특성 Home > GTS NX > 요소망 > 특성,좌표계,함수 > 특성 > 단면특성

개요

  • 1차원 요소인 트러스, 매립형 트러스, 보, 매립형 보 요소의 경우는 단면 물성을 정의하여야 합니다. 이중에서 트러스와 매립형 트러스의 경우는 단면적만을 필요로 하지만 보, 매립형 보 요소의 경우 비틀림과 휨 및 전단을 고려하기 위해 유효전단면적, 비틀림 강성, 단면 일차 모멘트, 단면 이차 모멘트 등의 많은 물성들을 요구합니다.

  • 평면응력 요소, 2D 토목섬유 요소, 판 요소, 평면변형 요소, 축대칭 요소, 선형 계면 요소 등을 정의하기 위해 요소의 두께를 정의하여야 합니다. 이중에서 평면변형 요소와 축대칭 요소 및 선형 계면 요소의 경우는 내부적으로 단위 두께인 1을 사용하고 있으며, 사용 단위계에 따라 두께를 정의할 수 도 있습니다.

  • 평면응력 요소, 2D 토목섬유 요소, 판 요소의 경우는 사용자가 직접 입력한 두께 값을 사용합니다. 이때 판 요소의 경우 회전자유도를 가지고 있고, 이에 대한 비선형 해석이 가능하기 때문에 두께방향으로 별도의 적분이 수행됩니다.

방법

1차원요소

  • 기하 특성으로 길이를 가지며, 2개(1차) 또는 3개(2차)의 절점으로 구성되는 요소입니다. 3차원 형상을 1차원 요소로 표현하기 때문에 단면(크기, 형상)을 정의해야 하고, 이를 이용해서 2차원 요소로 모델링한 후 계산됩니다.

  • GTS NX에서는 아래 그림과 같이 다양한 형상을 제공하고 있습니다. 단면특성 정의시 Offset 위치를 추가 설정할 수 있습니다.

    실제 모델 유한요소 모델

  • <단면 자동 모델링>

    솔리드 사각형 H 단면 채널

    QUAD-4 6400개
    QUAD-4 3400개
    QUAD-4 1700개

  • <단면 형상 및 치수 정의>

    솔리드 사각형 솔리드 원 파이프
    Box T 단면 H 단면
    Channel Angle Cross
    I 단면 채널1 Hat
    Sheet-Pile SRC-Box Cicle-HBeam
    Rect-HBem Cicle-HBeam

2차원 요소

  • 기하 특성으로 면적을 가지는 삼각형(Triangle) 또는 사각형(Quadrilateral) 입니다. 3차원 형상을 2차원 요소로 표현하기 때문에 두께를 정의해야 합니다. 두께는 동일뚜게 또는 위치별 변단면을 설정할 수 있습니다.

    실제 모델 유한요소 모델

3차원 요소

  • 기하 특성으로 체적을 가지는 사면체(Tetrahedron) 또는 육면체(Hexahedron, Brick) 형상의 요소입니다.

    실제 모델 유한요소 모델

단면적

  • 단면적 (A : cross sectional area)

  • 단면적(cross sectional area)은 부재가 인장 또는 압축력(axial force)을 받는 경우 이에 저항하는 축강성(axial stiffness)을 계산하거나 부재에 발생한 응력을 계산하는데 사용되며, 계산방법은 H형 단면에 대해서 그림과 같습니다.

  • midas GTS 내부에서 단면적을 계산하는 방법은 두 가지가 있습니다. 첫 번째 방법은 제공되는 단면 형상에 대한 데이터베이스로부터 요구되는 단면의 치수를 입력하여 자동으로 단면적을 계산하는 방법이며, 두 번째 방법은 사용자가 직접 단면적을 계산하여 입력하는 방법이 있습니다. 첫 번째 방법은 사용 상에 편리하다는 장점이 있으나, 실제 단면 형상에서 발생되는 접합부의 볼트, 접합구멍 및 리벳 접합구멍 등에 의한 단면적의 감소요인은 고려하지 않으므로, 사용자가 직접 계산된 단면적을 입력하는 두 번째 방법이 더 정확한 결과를 나타낼 수 있습니다.

    단면적의 계산 예

비틀림강성

  • 비틀림강성 (\(I_{xx}\) : torsional resistance)

  • 비틀림강성은 비틀림모멘트에 저항하는 강성으로 다음과 같이 표현됩니다.

    \[ I_{xx} = \frac{T}{G\theta} \]

    • \(I_{xx}\) : 비틀림강성(torsional resistance)
    • \(T\) : 비틀림모멘트(torsional moment or torque)
    • \(\theta\) : 비틀림각도(angle of twist)
    • \(G\) : 전단 탄성계수

  • 비틀림강성은 위 식에서와 같이 비틀림에 저항하는 강성이며, 비틀림에 의한 전단응력을 결정하는 극관성 단면 2차모멘트(polar moment of inertia)와는 다릅니다(단, 원형단면 또는 두께가 균개한 원통단면의 경우는 비틀림모멘트와 극관성 단면 2차모멘트가 일치합니다).

  • 비틀림 강성의 경우 와 Saint-venant의 비틀림 이론을 이용하여 아래와 같이 계산됩니다.

    \[ T = G\theta \int \left[ \left( \frac{\partial \omega}{\partial z} + y \right) y - \left( \frac{\partial \omega}{\partial y} - z \right) z \right] dA \]

  • \(\omega\)는 함수로(warping function) \(\omega(y,z)\)의 함수이며, 유한요소법으로 아래의 방정식을 이용하여 계산됩니다.

    \[ \int \left( \frac{\partial \delta\omega}{\partial y} \frac{\partial \omega}{\partial y} + \frac{\partial \delta\omega}{\partial z} \frac{\partial \omega}{\partial z} \right) dA = \int \left( \frac{\partial \delta\omega}{\partial y} z - \frac{\partial \delta\omega}{\partial z} y \right) dA \]

  • \(T = I_{xx}G\theta\) 이므로, 비틀림 강성정보는 다음과 같이 나타낼수 있습니다.

    \[ I_{xx} = \int \left[ \left( \frac{\partial \omega}{\partial z} + y \right) y - \left( \frac{\partial \omega}{\partial y} - z \right) z \right] dA \]

유효전단면적

  • 유효전단면적(\(A_{sy}\), \(A_{sz}\) : effective shear area)

  • 전단력에 대한 유효전단면적(effective shear area)은 부재단면의 요소좌표계 y축 또는 z축 방향으로 작용하는 전단력(shear force)에 저항하는 강성(shear stiffness)의 계산에 필요합니다. 만약, 유효전단면적을 입력하지 않았을 경우에는 해당 방향의 전단변형이 무시됩니다.

    \[ \begin{align} A_{sy} &= S_{ky}A \\ A_{sz} &= S_{kz}A \end{align} \]

    • \(S_{ky}\) : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단계수
    • \(S_{kz}\) : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단계수
    • \(A_{sy}\) : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단면적
    • \(A_{sz}\) : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력에 저항하는 유효전단면적

  • 내부에서 단면물성을 계산하거나 데이터베이스로부터 입력되는 경우에는 해당 전단강성정보가 자동 고려되며, 유효 전단계수의 계산방법은 휨모멘트로 발생된 전단력에 의한 뒤틀림(warping function) \(\varphi(y,z)\) 와 Saint-venant의 비틀림 이론의 뒤틀림 \(\omega(y,z)\) 를 이용하여 아래와 같이 계산됩니다.

    \[ \frac{1}{S_{ky}} = \frac{A}{V_y} \left[ \frac{I_{\varphi y}I_{yy} - I_{\varphi z}I_{yz}}{I_{yy}I_{zz} - I_{yz}^2} + \frac{\nu}{2(1+\nu)} \frac{(C_{zz}I_{yy} - C_{yy}I_{yz})}{I_{yy}I_{zz} - I_{yz}^2} \right] \]
    \[ \frac{1}{S_{kz}} = \frac{A}{V_z} \left[ \frac{I_{\varphi z}I_{zz} - I_{\varphi y}I_{yz}}{I_{yy}I_{zz} - I_{yz}^2} + \frac{\nu}{2(1+\nu)} \frac{(C_{zz}I_{zz} - C_{yy}I_{yz})}{I_{yy}I_{zz} - I_{yz}^2} \right] \]

  • 여기서,

    \[ \begin{align} I_{\varphi y} &= \int \varphi y dA, \quad I_{\varphi z} = \int \varphi z dA \\ C_{yy} &= \int \tau_{yz} (y - y_{\omega})^2 dA, \quad C_{zz} = \int \tau_{yz} (z - z_{\omega})^2 dA \\ y_{\omega} &= \frac{\int \left( \frac{\partial \omega}{\partial z} + y \right) y^2 dA}{2 \int \left( \frac{\partial \omega}{\partial z} + y \right) y dA}, \quad z_{\omega} = \frac{\int \left( \frac{\partial \omega}{\partial y} + z \right) z^2 dA}{2 \int \left( \frac{\partial \omega}{\partial y} + z \right) z dA} \end{align} \]

단면 2차모멘트

  • 단면 2차모멘트 (\(I_{yy}\), \(I_{zz}\) : area moment of inertia)

  • 단면 2차모멘트(area moment of inertia)는 휨모멘트(bending moment)에 저항하는 휨 강성(flexural stiffness)을 계산하는데 사용되며, 해당 단면의 도심축에서 다음의 식에 따라 계산됩니다.

    • 1. 요소좌표계 y축에 대한 단면 2차모멘트

    \(I_{yy} = \int z^2 dA\)

    • 2. 요소좌표계 z축에 대한 단면 2차모멘트

    \(I_{zz} = \int y^2 dA\)

    • 단면1차모멘트 및 도심의 계산

      Section element b h \(A_i\) \(\overline{z}_i\) \(Q_{yi}\) \(\overline{y}_i\) \(Q_{zi}\)
      ① 10 4 40 2 80 5 200
      ② 2 10 20 9 180 5 100
      ③ 8 3 24 15.5 372 5 120
      total - - 84 - 632 - 420
      • \(A_i\) :  area
      • \(\overline{z}_i\) :  distance from the reference point to the centroid of the section element in the z′-axis direction
      • \(Q_{yi}\) :  distance from the reference point to the centroid of the section element in the y′-axis direction
      • \(\overline{y}_i\) :  first moment of area relative to the reference point in the y′-axis direction
      • \(Q_{zi}\) :  first moment of area relative to the reference point in the z′-axis direction

    • 3. 중립축 위치 계산 ( \(\overline{z}\) , \(\overline{y}\) )

      \[ \overline{z} = \frac{\int \overline{z} dA}{Area} = \frac{Q_y}{Area} = \frac{632}{84} = 7.5238 \]
      \[ \overline{y} = \frac{\int \overline{y} dA}{Area} = \frac{Q_z}{Area} = \frac{420}{84} = 5.0000 \]

    • 4. 면 2차모멘트 계산 (\(I_yy\), \(I_{zz}\))

    • < 표. 단면 2차모멘트의 계산 예 >

      Section element \(A_i\) \(\overline{Z} - \overline{z}_i\) \(I_{y1}\) \(I_{y2}\) \(I_{yy}\) \(\overline{Y} - \overline{y}_i\) \(I_{z1}\) \(I_{z2}\) \(I_{zz}\)
      ① 40 5.5328 1224.5 53.3 1277.8 0 0 333.3 333.3
      ② 20 1.4672 43.1 166.7 209.8 0 0 6.7 6.7
      ③ 24 7.9762 1526.9 18.0 1544.9 0 0 128.0 128.0
      total 2794.5 238.0 3032.5 0 468.0 468.0
      \[ I_{y1} = A_i \times (\overline{Z} - \overline{z}_i)^2, \quad I_{y2} = \frac{bh^3}{12}, \quad I_{yy} = I_{y1} + I_{y2} \]
      \[ I_{z1} = A_i \times (\overline{Y} - \overline{y}_i)^2, \quad I_{z2} = \frac{hb^3}{12}, \quad I_{zz} = I_{z1} + I_{z2} \]

단면 상승모멘트

  • 단면 상승모멘트 (\(I_{yz}\) : area product moment of inertia)

  • 단면 상승모멘트(area product moment of inertia)는 비대칭단면의 응력성분을 계산하는데 사용되며, 그 정의는 다음과 같습니다.

    \[ I_{yz} = \int y \cdot z dA \]

  • H, pipe, box, channel, tee형 단면과 같이 요소좌표계 y, z축 어느 1개의 축에 대해서 대칭인 경우에는 Iyz=0이 되며, angle형 단면과 같이 어느 1개 축에 대해서도 대칭이 아닌 경우에는 Iyz≠ 0이므로 응력성분 계산시 고려하여야 합니다.

  • angle형 단면의 단면 상승모멘트 계산방법은 아래 그림과 같습니다.

    angle형 단면
    angle형 단면의 단면 상승모멘트 계산
    :---:
    \[ \begin{align} I_{yx} &= \sum A_i \times e_{yi} \times e_{zj} \\[10pt] &= \left(B \times t_f\right) \times \left(B/2 - \overline{Y}\right) \times \left[\left(H - t_f/2\right) - \overline{Z}\right] \\[10pt] &\quad + \left[\left(H - t_f\right) \times t_w\right] \times \left(t_w/2 - \overline{Y}\right) \times \left[\left(H - t_f\right)/2 - \overline{Z}\right] \end{align} \]
    비대칭형 단면에서의 휨응력 분포도

  • 중립축(neutral axis)은 휨모멘트에 의한 부재내 휨응력이 ‘0(zero)’이 되는 위치를 통과하는 축을 말하며, n-축이 중립축이 됩니다. m-축은 n-축에 대하여 수직을 이루는 축입니다.

  • 중립축에서는 휨모멘트에 의한 휨응력이 ‘0’이므로 다음의 관계식으로부터 중립축 방향을 구할 수 있습니다.

    \[ \begin{align} &\left(M_y \times I_z + M_z \times I_{yz}\right) \times z - \left(M_z \times I_{yy} + M_y \times I_{yz}\right) \times y = 0 \\[10pt] &\tan\phi = \frac{y}{z} = \frac{M_y \times I_z + M_z \times I_{yz}}{M_z \times I_{yy} + M_y \times I_{yz}} \end{align} \]

  • 휨모멘트에 의한 단면의 휨응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 다음과 같습니다.

    \[ f_b = \frac{M_y - M_z\left(I_{yz}/I_{zz}\right)}{I_{yy} - \left(I_{yz}^2/I_{zz}\right)} \times z + \frac{M_z - M_y\left(I_{yz}/I_{yy}\right)}{I_{zz} - \left(I_{yz}^2/I_{yy}\right)} \times y \]

  • 만일 H형 단면일 경우에는 \(I_{yz}=0\) 이 되므로,

    \[ f_b = \frac{M_y}{I_{yy}} \times z + \frac{M_z}{I_{zz}} \times y = f_{by} + f_{bz} \]

    • \(I_{yy}\) : 요소좌표계 축에 대한 단면 2차모멘트
    • \(I_{zz}\) : 요소좌표계 축에 대한 단면 2차모멘트
    • \(I_{yz}\) : 단면 상승모멘트
    • \(y\) : 요소단면의 중립축으로부터 힘응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌표계 축 방향의 거리
    • \(z\) : 요소단면의 중립축으로부터 힘응력을 계산하고자 하는 위치까지의 요소좌표계 축 방향의 거리
    • \(M_y\) : 요소좌표계 축에 대한 힘모멘트
    • \(M_z\) : 요소좌표계 축에 대한 힘모멘트

  • 요소좌표계 y축 및 z축 방향으로 작용하는 전단력에 대한 전단응력을 계산하는데 적용되는 일반식은 다음과 같습니다.

    \[ \begin{align} \tau_y &= \frac{V_y}{b_z \times \left(I_{yy} \cdot I_{zz} - I_{yz}^2\right)} \times \left(I_{yy} \cdot Q_z - I_{yz} \cdot Q_y\right) = \left(\frac{I_{yy} \cdot Q_z - I_{yz} \cdot Q_y}{I_{yy} \cdot I_{zz} - I_{yz}^2}\right) \times \left(\frac{V_y}{b_z}\right) \\[10pt] \tau_z &= \frac{V_z}{b_y \times \left(I_{yy} \cdot I_{zz} - I_{yz}^2\right)} \times \left(I_{zz} \cdot Q_y - I_{yz} \cdot Q_z\right) = \left(\frac{I_{zz} \cdot Q_y - I_{yz} \cdot Q_z}{I_{yy} \cdot I_{zz} - I_{yz}^2}\right) \times \left(\frac{V_z}{b_y}\right) \end{align} \]

    • \(V_y\) : 요소좌표계 축 방향으로 작용하는 전단력
    • \(V_z\) : 요소좌표계 축 방향으로 작용하는 전단력
    • \(Q_y\) : 요소좌표계 축에 대한 단면 1차모멘트
    • \(Q_z\) : 요소좌표계 축에 대한 단면 1차모멘트
    • \(b_y\) : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 축과 직각을 이루는 단면의 두께
    • \(b_z\) : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 축과 직각을 이루는 단면의 두께

단면 1차모멘트

  • 단면 1차모멘트 (\(Q_y\), \(Q_z\) : first moment of area)

  • 단면 1차모멘트(first moment of area)는 단면의 임의의 위치에서 전단응력을 계산하는데 사용되며 아래와 같이 계산합니다.

    \[ \begin{align} Q_y &= \int z \, dA \\[10pt] Q_z &= \int y \, dA \end{align} \]

  • 단면이 y, z 양축 중에서 어느 한 축에 대하여 대칭일 경우, 임의의 위치에서 전단응력은 다음과 같이 계산합니다.

    \[ \begin{align} \tau_y &= \frac{V_y \cdot Q_z}{I_{zz} \cdot b_z} \\[10pt] \tau_z &= \frac{V_z \cdot Q_y}{I_{yy} \cdot b_y} \end{align} \]

    • \(V_y\) : 요소좌표계 y축 방향으로 작용하는 전단력
    • \(V_z\) : 요소좌표계 z축 방향으로 작용하는 전단력
    • \(I_{yy}\) : 요소좌표계 y축에 대한 단면 2차모멘트
    • \(I_{zz}\) : 요소좌표계 z축에 대한 단면 2차모멘트
    • \(b_y\) : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 y축과 직각을 이루는 단면의 두께
    • \(b_z\) : 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 요소좌표계 z축과 직각을 이루는 단면의 두께

전단계수

  • 전단계수 ( \(Q_{yb}\) , \(Q_{zb}\) : Shear Factors of Shear Stress due to Bending)

  • 전단계수는 휨모멘트에 의한 전단응력을 계산하는데 사용되며, 부재단면 중 전단응력을 계산하고자 하는 위치에서의 단면1차 모멘트를 전단응력 계산위치에서의 단면두께로 나눈 값입니다.

    \[ \begin{align} \tau_y &= \frac{V_y \cdot Q_z}{I_{zz} \cdot b_z} = \frac{V_y}{I_{zz}}\left(\frac{Q_z}{b_z}\right) = \frac{V_y}{I_{zz}} Q_{zb} \\[10pt] \tau_z &= \frac{V_z \cdot Q_y}{I_{yy} \cdot b_y} = \frac{V_z}{I_{yy}}\left(\frac{Q_y}{b_y}\right) = \frac{V_z}{I_{yy}} Q_{yb} \end{align} \]

    \[ \begin{align} \tau_z &= \frac{V_z Q_y}{I_{yy} b_y} = \frac{V_z}{I_{yy}} Q_{y\phi} \\[10pt] Q_y &= \int z \, dA = (B \times t_f) \times \overline{z} \\[10pt] b_y &= t_w \\[10pt] Q_{yb} &= \{(B \cdot t_f) \times \overline{z}\} / t_w \end{align} \]

  • 전단응력계수(\(G_y\) , \(G_z\) )는 이를 2차단면모멘트로 나눈 값, 즉 \(Q_{yb}/I_{yy}\), \(Q_{zb}/I_{zz}\)를 의미합니다.

요소 두께

  • GTS NX에서는 평면응력 요소, 2D 토목섬유 요소, 판 요소, 평면변형 요소, 축대칭 요소, 선형 계면 요소 등을 정의하기 위해 요소의 두께를 정의하여야 합니다. 이중에서 평면변형 요소와 축대칭 요소 및 선형 계면 요소의 경우는 내부적으로 단위 두께인 1을 사용하고 있습니다.

  • 평면응력 요소, 2D 토목섬유 요소, 판 요소의 경우는 사용자가 직접 입력한 두께 값을 사용합니다. 이때 판 요소의 경우 회전자유도를 가지고 있고, 이에 대한 비선형 해석이 가능하기 때문에 두께방향으로 별도의 적분이 수행되어야 합니다.

최종 수정일: 2026-03-19